Çaykur Rizespor'un altyapısından yetişen ve burada profesyonel kariyerine başlayan Hasan Vezir, 1983-1984 sezonunun başında performansıyla dikkatleri üzerine çekip Trabzonspor'a transfer oldu. Vezir'in bordo-mavili kulüpteki ilk sezonu Trabzonspor'un 2021-22 sezonuna kadar son şampiyonluğunu kazandığı sezon oldu. Eş zamanlı olarak Türkiye millî futbol takımı'nda da forma şansı elde etti.
Trabzonspor'da 4 sezon oynadıktan sonra Çaykur Rizespor'a geri döndü. 1988-1989 sezonunda Vezir, sezonun 7. haftasında teknik direktör Todor Veselinović'in isteği üzerine Fenerbahçe transferi gerçekleşti (O dönem transfer dönemi 1 Haziran'da başlayıp 31 Aralık'ta sona eriyordu ve ara transfer yoktu). Fenerbahçe Hasan Vezir'e karşılık Çaykur Rizespor'a Orhan Kapucu, Önder Çakar, Bilal Şar ve İskender Eroğlu'yu verdi.
Hasan Vezir, sarı-lacivertli takımda 7 ay kaldı ve 103 golle gelen şampiyonluğa, oynadığı 23 maçta attığı 15 golle katkı sağladı.
Yine 1988-89 sezonunda, Galatasaray ile oynanan Türkiye Kupası maçında, sarı-kırmızılı takımın ilk yarıyı Tanju Çolak'ın golleriyle 3-0 önde kapatmasına rağmen Fenerbahçe skoru 4-3'e getirerek kazandı. Sarı-lacivertlilerin ilk golünü Aykut Kocaman, diğer 3 golünü de Hasan Vezir kaydetti. Ancak sezon sonunda Galatasaray yöneticisi Ergun Gürsoy onu bir otomobile bindirdi ve kulağına eğildi: Biz seni kaçırdık Hasan!
Olay şu şekildedir; buluşma yeri Küçükyalı’dır. Yanında ağabeyiyle birlikte buluşma noktasına gelir Hasan Vezir. Ergun Gürsoy ve Karahasan, “Biz Hasan’ı eve bırakırız” diyerek ağabeyini uğurladıktan sonra araba çalışır... İstanbul’dan uzaklaşan araç Bursa’ya, Özhan Canaydın’ın tekstil fabrikasına doğru ilerlerken Ergun Gürsoy, “Seni kaçırıyoruz Hasan. Artık dönüşü yok bunun” der... 3 gün sonra Fenerbahçe’nin Beşiktaş ile oynayacağı Türkiye Kupası final maçında forma giymek istediğini söyler ama Ergun Gürsoy için bu ciddi bir risktir: Bir şey olmaz. Seni gönderirsek transfer yatabilir. Fethiye’deki bir tatil köyüne gazeteciler çağrılır, sözleşme imzalanır.
Hasan Vezir ayrıca 15 kez A Millî ve 4 kez de Ümit millî formayı giydi. A millî takımın 1986 FIFA Dünya Kupası elemeleri, EURO 1988 elemeleri ve 1990 FIFA Dünya Kupası elemeleri kadrosundaydı. Hasan Vezir, şu an teknik direktörlük yapmaktadır.
